গণিতে সংখ্যার ম্যাজিক বেশ বড় একটি বিষয়। এতে যেমন গণিতের কৌশল আছে, তেমনি আছে মজা। যেমন, একটি প্রশ্ন ধরা যাক। ক্রমিক কয়েকটি জোড় বা বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি সবসময় কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য? এ রকম কোনো সংখ্যা কি আছে? এ প্রশ্নের সহজ সমাধান কী? মনে হয় খুব কঠিন, কিন্তু একটু চিন্তা করলেই জট খুলে যায়।

অবাক হতে হয়, যখন দেখি যেকোনো সংখ্যক ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি মোট যতগুলো সংখ্যার সমষ্টি, সেই সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।ধরা যাক, ( ২ক – ৩) , ( ২ক – ১), (২ক + ১) এবং (২ক + ৩) মোট ৪ টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা। এদের যোগফল = ৮ক। এই যোগফল সবসময়ই ৪ এবং (২ক) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।এখানে (২ক) হলো সংখ্যাগুলোর গড় এবং পদসংখ্যা = ৪, যা একটি জোড় সংখ্যা।

একইভাবে ধরা যাক, ( ২ক – ৩), ( ২ক – ১), (২ক + ১), (২ক + ৩) এবং (২ক + ৫) মোট ৫ টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা। এদের যোগফল = (১০ক + ৫)। এটি পদসংখ্যা ৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
জোড় সংখ্যার ক্ষেত্রেও এটি প্রযোজ্য।

সহজভাবে বলা যায়, ‘ক’ সংখ্যক জোড় বা বিজোড় সংখ্যার যোগফল ‘ক’ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। যেমন, যদি ‘ক’ যেকোনো সংখ্যা হয়, তাহলে ৪টি ক্রমিক জোড় বা বিজোড় সংখ্যার যোগফল = (ক – ৩) + (ক – ১) + (ক + ১) + (ক + ৩) = ৪ক, যা ৪ এবং ‘ক’ দ্বারা বিভাজ্য।এখানে পদসংখ্যা ৪, যা একটি জোড় সংখ্যা। পদসংখ্যা যদি বিজোড় হয়, তাহলে ধরা যাক ৫টি ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল = (ক – ৩) + (ক – ১) + (ক + ১) + (ক + ৩) + (ক + ৫) = (৫ক + ৫), যা পদসংখ্যা ৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
এক কথায় বলা যায়, ৮টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৮ দ্বারা, ১৯ টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। ইত্যাদি।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
একটি সংখ্যার এক–তৃতীয়াংশ (১/৩ অংশ) যদি দ্বিতীয় একটি সংখ্যার এক–ষষ্ঠাংশের (১/৬ অংশ) সমান হয়, তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার কত গুণ?
খুব সহজ। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা quayum@gmail.com ই–মেইলে আপনাদের উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: এক ব্যক্তি মোটর সাইকেলে অফিস যাচ্ছেন। মোট দূরত্বের দুই–তৃতীয়াংশ পথ যাওয়ার পর প্রচণ্ড যানজটে পড়লেন। তিনি অবশিষ্ট পথ হেঁটে অফিসে পৌঁছলেন। এতে মোটর সাইকেলে যত সময় তিনি চলেছেন, তার ৫ গুণ সময় হাঁটতে হয়েছে। তাঁর হাঁটার তুলনায় মোটর সাইকেলের গতি কত গুণ ছিল?

উত্তর
মোটর সাইকেলের গতি ছিল তাঁর হাঁটার তুলনায় ১০ গুণ ।
সঠিক উত্তর পাঠিয়েছেন সবাই। ধন্যবাদ।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
মোটর সাইকেলে ওই ব্যক্তি গিয়েছেন (২/৩) অংশ এবং হেঁটে গিয়েছেন অবশিষ্ট (১/৩) অংশ পথ। তার মানে, মোটর সাইকেলে যত পথ গিয়েছেন তার অর্ধেক দূরত্ব হেঁটে গিয়েছেন। এই হাঁটা পথের দূরত্ব পার হতে ৫ গুণ সময় লেগেছে। তাহলে মোটর সাইকেলে পার হওয়া দূরত্বের সমান পথ যেতে লাগবে এর দ্বিগুণ সময়। সুতরাং মোটর সাইকেলের গতি তাঁর হাঁটার গতির তুলনায় ১০ গুণ।

এর ব্যাখ্যার জন্য, ধরা যাক অফিসের দূরত্ব ২৪ কি.মি.। এর দুই-তৃতীয়াংশ = ১৬ কি.মি.পথ মোটর সাইকেলে যেতে যদি, ধরা যাক, ২৪ মিনিট সময় লাগে, তাহলে মোটর সাইকেলের গতি ঘন্টায় (১৬/২৪)×(৬০) = (২×২০) = ৪০ কি.মি.। অন্যদিকে হেঁটে এর অর্ধেক দূরত্ব = ৮ কি.মি. যেতে মোট লেগেছে মোটর সাইকেলের সময়ের ৫ গুণ = (২৪×৫) = ১২০ মিনিট। সুতরাং হাঁটার গতি ১২০ মিনিটে ৮ কি.মি., অথবা ঘণ্টায় ৪ কি.মি.। আমরা দেখছি আলোচ্য ক্ষেত্রে মোটর সাইকেলের গতি ঘণ্টায় ৪০ কি.মি.এবং হাঁটার গতি ঘণ্টায় ৪ কি.মি.। সুতরাং মোটর সাইকেলের গতি হাঁটার গতির ১০ গুণ।

আব্দুল কাইয়ুম, সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা